술어 논리는 다른 이름으로 1차 양화논리 first order quantificational logic, 또는 표준 논리 standard logic라고도 일컫는다.
1. 술어논리란?
지금부터 논의될 술어 논리에서는 프레게의 3가지 혁신과 더불어 어떠한 경우에서 범주삼단논법이 혼란을 일으키는지 설명할 것이다. 아래의 유명한 논증을 보자.
모든 사람은 죽는다.
소크라테스는 사람이다.
------------------------------
소크라테스는 죽는다.
위 논증의 둘째 전제와 결론은 사실 범주 문장이 아니다. 그것은 고유 명사가 주어로 사용되는 단칭singular 문장이기 때문이다. 하지만 칸트를 비롯하여 현대논리학이 대두되기 이전의 철학자들은 위 논증을 범주논리로서 간주하려는 경향이 있었고, 따라서 둘째 전제는 "소크라테스와 동일한 모든 것은 사람이다"와 같은 것으로서 해석되어 왔다. 그러할 때 위 문장은 전칭긍정(M.P)으로써 타당한 논증이다. 위 논증을 다시 표현하자면 아래와 같다.
모든 M은 P이다.
모든 S는 M이다.
--------------------
모든 S는 P이다.
우리는 위에서 다루었던 두 논증을 직관적으로 타당한 논증이라고 알 수 있다. 하지만 "소크라테스는 죽는다"로부터 "죽는 것이 존재한다"는 주장은 타당하게 추론할 수 있지만, "모든 S는 P이다"는 형식의 문장으로부터는 어떠한 존재 주장도 타당하게 추론할 수 없다. 즉, 단칭문장을 보편문장으로 이해하는 과정에서 단칭문장이 갖고 있던 존재함축이 소실됨을 알 수 있다.
그렇다면 전통과 다르게, "소크라테스"를 "소크라테스와 동일한 어떤 것"으로 이해하면 위 문제가 해결 될까?
모든 M은 P이다.
어떤 S는 M이다.
--------------------
어떤 S는 P이다.
위 논증 또한 타당하다. 하지만 이렇듯 단칭문장을 보편문장으로도, 존재문장으로도, 표현할 수 있다고 한다면 아래와 같은 논증에서 우리는 부당한 논증 또한 추론될 수 있다는 것을 알 수 있다.
소크라테스는 죽는다.
소크라테스는 사람이다.
---------------------------
어떤 사람은 죽는다.
위 논증형식의 후보는 다음 아래의 논증 2개와 같다.
모든 M은 S이다.
모든 M은 P이다.
--------------------
어떤 S는 P이다.
어떤 M은 P이다.
어떤 M은 S이다.
--------------------
어떤 S는 P이다.
위 논증형식은 직관적으로 타당해보일지 모르겠으나, 사실 모두 부당한 논증이다. 이러한 문제를 해결하기 위해 미국의 논리학자 copi와 cohen은 둘의 논증형식을 결합하여 아래와 같이 표현하였다.
모든 M은 P이고, 어떤 M은 P이다.
모든 M은 S이고, 어떤 M은 S이다.
----------------------------------------
어떤 S는 P이다.
위 논증의 타당성을 검사해보면 위 논증은 타당하다. 하지만 위 논증을 앞에서 우리가 단칭문장으로서 "소크라테스는 죽는다, 소크라테스는 사람이다. / 어떤 사람은 죽는다"의 논증형식으로 간주하는 것은 다소 혼잡스럽다. 게다가 새로 결합한 위 논증형식은 소위 범주삼단논법의 표준형식 또한 아니다. 따라서 위 논증은 규칙들의 체계를 동원하여 타당성을 평가할 수도 없다. 더욱이, 이러한 논증은 고유명사와 개념어 간의 중요한 차이를 혼동시킨다. 가령, 고유명사와 개념어 간의 차이에 주의를 기울이지 않게 된다. 우리는 여기서 "S⊂P", "S∈P" 간의 차이를 발견하지 못하게 된다.
우리는 이른바 "계사"라고 일컫어지는 영어의 be동사를 통해 문법적 주어와 술어를 연결하는데, 사실 이 be동사는 보기에 서로 같은 표현이지만, 사실 상황에 따라 의미가 다른 일종의 애매어이다. 아래의 논증을 통해서 be동사가 애매어라는 주장에 대해 대답할 수 있겠다.
모든 사람은 죽는다.
소크라테스는 사람이다.
-----------------------------
소크라테스는 죽는다. (1)
M⊂P
s∈M
-----------
s∈P (가)
M:사람들의 집합
P:죽는 것들(생명이 유한한 것들)의 집합
s: 소크라테스
한편 우리가 위에서 살펴보았던 범주삼단논법으로 쓰인 다음의 논증은 아래와 같이 표현될 수 있다.
모든 동물은 죽는다.
모든 사람은 동물이다.
---------------------------
모든 사람은 죽는다. (2)
M⊂P
S⊂M
--------
S⊂P (나)
M:동물들의 집합
P:죽는 것들(생명이 유한한 것들)의 집합
s: 사람들의 집합
집합기호로 표시된 두 논증은 모두 타당한 논증이다. 하지만 둘의 논증형식은 다르다. 즉, 타당한 이유가 다르다. 논증 (1)이 타당한 이유는 범주삼단논법을 통해서 증명될 수 없다. 논증형식 개념을 동원한 타당성 정의에 따르면, 논증 (가)의 논증형식에서의 대입예들 중에는 전제들이 모두 참이고 결론이 거짓인 것이 존재하지 않는다. 논증 (가)에서 M,P는 단지 어떤 집합을 의미하는 표현이 들어갈 자리를 표시할 뿐이고, s는 단지 어떤 개체를 의미하는 표현이 들어갈 자리를 표시할 뿐이라고 한다면, 그것은 논증 (1)에 대한 수학적 표현인 셈이다. 여기서 주목할 점은, 논증 (1)과 (2) 사이에는 넘을 수 없는 논증형식의 차이가 존재함을 깨닫게 해주는 것인데, 그것은 고유명사와 개념어를 엄격하게 구분한 프레게의 첫번째 혁신이다.
(1) 논리적 의미에서의 단칭어(고유명사)와 논리적 의미에서의 술어(개념어)간의 구분
술어논리에서 술어predicate는 논리적 의미에서의 술어, 즉, 개념어를 지칭한다. 가령, "모든 고래는 포유동물이다" 에서 고래는 주어이고 포유동물은 술어이다. 현재까지도 이러한 일상 언어의 문법은 변하지 않았지만 프레게에 따르면, 이러한 문법적 구조는 우리 생각 또는 실재reality의 모습을 정확히 반영하는 역할을 완벽하게 수행하는 구조가 아니다. 그러한 연유로 인해, 프레게는 고유명사(단칭어)와 여러 대상들의 집합(또는 속성이나 개념)을 지칭하는 술어를 구분하였다. 가령, "소크라테스는 현명하다"에서 소크라테스는 고유명사이고 "현명한"은 술어이다. 그렇다면, 위에서 살펴보았던 논증 중 하나에도 적용시켜보자면, 고래는 술어이고, 포유동물 또한 술어이다. 하지만 편의상 여기서는 이 정도로 구분해두지만, 사실 프레게가 말하는 논리적 의미에서의 술어는 일상 언어 문법에서 말하는 술어와 더 많은 차이를 갖고 있다.
(2) 술어는 함수 표현이다.
Socrates is wise.
여기서 is는 계사로서 주어와 술어를 결합시키는 역할을 한다고 간주되어왔다. 그러나 이러한 이해는 많은 철학적 어려움을 발생시킨다. 그렇다면, 가령, 주어와 계사, 그리고 계사와 술어를 결합시키는 역할은 무엇이란 말인가? 프레게는 술어를 '빈자리가 있는 표현'으로 간주함으로써 이러한 문제를 해결하였다. 술어는 "충족되지 않는 존재"(empty+entity=x)인 함수를 지칭하는 함수 표현이다. 따라서 위 문장에서 술어는 x is wise이다.
x is wise. 여기서 x는 프레게에 따르면 being empty 이다.
이러한 술어를 인공언어(=명제함수 by russel)인 우리의 술어논리 언어에서는
Wx라고 표기한다.
프레게에 따르면 술어는 <독립변항값으로서 대상(고유명사)이 주어지면 함수값으로 진리치를 산출하는 함수>를 지칭한다. 언어적 표현의 측면에서 말하자면, 술어는 빈자리에 대상을 지칭하는 고유명사가 대입되면 T/F의 진리치를 지칭하는(by frege) 완전한 문장이 산출되는 함수 표현이다.
(3) 양화사는 속성에 적용되는 술어(2차 술어)이다.
양화사는 "모든"과 밀접한 관계가 있다. "모든 고래는 포유동물이다"를 다시 생각해보자. 여기서 "고래와 포유동물"은 술어였다. 정확하게는, "x는 고래이다.", "x는 포유동물이다."가 더 정확하다. 그렇다면 "모든"은 무엇을 수식하는가? 일상 언어 문법에서는 모든이라는 양화사는 주어인 고래를 수식한다. 즉, 진술의 대상은 고래의 집합에 속하는 모든 것들이다. 그러나 술어논리의 언어에서 도입하는 보편 양화사 (∀x)(for all x)는 조금 다른 의미를 갖는데, 곧 뒤따르는 술어가 지칭하는 속성은 논의역 속의 모든 대상들이 갖고 있는 속성을 뜻하기 때문이다. 즉, 보편 양화사는 속성에 적용되는 술어로서 이른바 2차 술어이다. 다시 말해, 보편 양화사는 뒤에 오는 술어가 논의역 속의 모든 대상들이 만족시키는 술어인 경우에는 참인 문장을 산출하고, 그렇지 않은 경우에는 거짓인 문장을 산출하는 표현이다.
*논의역:논의의 대상이 되는(가능상황 속에 있는) 모든 대상들의 집합.
*속성: 술어가 지칭하는 것.
보편양화사universial quantifier : (∀x):for all x => (∀x)(Wx): 모든 대상을 가리키는 게 아니라, 엄격하게는, Wx라는 속성에 대해 이야기하는 것이다.
보편양화사는 술어의 술어이다. ≡ 속성에 대한 속성이다. 즉, 보편술어는 속성을 표현한다.
존재양화사existential quantifier:(∃x):There are at least one x.
=> Wa v Wb v Wc
속성은 집합과 매치된다. 예시를 하나 들어보자.
어떤 사람은 현명하다. ≡ (∃x)(Hx&Wx)
Hx: x는 사람이다
Wx: x는 현명하다.
Hx&Wx: 사람은 현명하다.
(∃x)(Hx&Wx): 현명한 사람이 적어도 한 명 있다. ≡어떤 사람은 현명하다.
(+예화: Wx -> Ws: s라는 속성을 갖는 것에 대입.)
(+자연언어 --> 인공언어로 옮길 때, 단어 대 단어로 옮기지 말고, 의미적으로 옮겨라. 가령, "모든 고래는 포유동물이다." ≡ (∀x)(Wx ⇒Mx): 고래이기만 하면 전부 다 포유동물이다.)
즉, W ⊂ M 이니까, 고래인 것은 모두 다 포유동물이다. 따라서, 진리함수적 연결사를 사용하여, Wx ⇒Mx를 연결한 복합술어로 표현할 수 있다. 이는 "만약 x가 고래라면 x는 포유동물이다."를 뜻한다. 이 앞에 보편양화사를 붙인다는 것은, 이 복합술어는 논의역 속에 모든 대상들 - 모든 가능상황 이 참일 때 - 이 만족시키는(=갖고 있는 속성) 보편술어이다라는 것을 주장하기 위함이다.
(∀x)(Wx ⇒Mx)
여기서 하나의 예시를 또 만들어보자. 세계에 있는 모든 대상들을 모아놓은 것, 즉 논의역={a,b,c}이다. 이 때, W={a,b}이고, M={a}라고 가정하자. 그렇다면 위 상황들의 복합술어는 논의역 속에 모든 대상들을 만족시킬까? 다시 말해, 보편양화사를 붙일 수 있을까? 아래의 타르스키 만족표를 참고해보자.
|
(∀x)
|
|
Wx
|
⇒
|
Mx
|
|
|
a
|
Wa(o)
|
⇒(o)
|
Ma(o)
|
|
x
|
b
|
Wb(o)
|
⇒(x)
|
Mb(x)
|
|
|
c
|
Wc(x)
|
⇒(o)
|
Mc(x)
|
위 표를 참고해보면, 우리는 진리적 함수 연결사로서 조건문의 타당성 판별을 사용한 것을 알 수 있다. 하지만, 전제가 참이고, 결론이 거짓인 경우, 유일하게 조건문이 진리적함수 연결사로서 거짓이 된다. 따라서 위 경우 두번째 가능상황에서 거짓이기 때문에 보편양화사가 붙을 수 없다.
우리는 여기서 일상언어의 "모든"과 술어논리 언어에서의 보편양화사로서의 "모든"이 단순하게 대응되지 않으며, 서로 의미의 차이가 존재한다는 것을 알 수 있다. 따라서 일상언어의 문장을 술어논리 문장으로 번역시 문장 속에 존재하는 단어들을 일대일로 대체시킬 수 없는 경우가 잦다. 이러한 연유 탓에, 일상언어의 문장을 술어논리의 언어로 표현할 시에, 상황을 의존하여 생각하고, 논리적 의미를 정확히 파악한 후에 , 즉 그 문장이 참이 되는 상황을 고려하면서, 번역해야 할 것이다.
2. 술어논리의 구문론: 예화와 양화(일반화)
지금부터 술어논리의 언어를 단계적으로 도입해보자. 우선 술어를 사용해보자.
F,G ... F1, G1 ...
그 다음, 단칭어singular term 표현이 들어갈 수 있는 개체변항 x,y,z 를 사용해보자.
x,y,z ..., x1,y1,z1 ...
그리고 술어의 논리적 구조를 분명히 드러내는 술어를 정당하게 지칭하기 위해 술어와 개체변항이 결합된 표현도 술어라고 부르며 다음과 같이 표기해보자.
Fx, Lxy, Bxyz ...
위 술어는 차례로, 일차 술어(속성), 이항술어(관계를 이야기해), 삼차술어( " ) 이다.
이러한 술어가 완전한 문장이 되기 위한 길은 2가지인데, 예화와 양화가 그것이다.
술어를 예화하기 위해서는 단칭어가 필요하다.
술어를 양화하기 위해서는 양화사가 필요하다. 양화사는 앞에서 소개했듯이 보편양화사와 존재양화사가 있다.
그리고 명제논리에서 도입되었던 진리함수적 연결사 기호를 그대로 술어논리의 언어로 도입하자. 그러면 아래와 같은 표현들은 완전한 문장들이다. 이는 곧 ≡ 닫힌문장이다. (∵개체의 변항이 비어있지 않다.)
Fa, Lab (∀x)Fx, (∃x)(Fx⇒Gx)
첨언하자면, 열린 게 있어야 술어이다. 왜냐하면 술어는 개념어를 "x는 ~~이다."로서 표현하는데, 만약 x가 닫혀있다면, 그러니까 비어있지 않다면, 그것은 술어가 될 수 없기 때문이다. 따라서 술어는 x를 비어놓아야, 다시 말해 열어놓아야 한다. 아래의 두가지 예를 설명하면서 이 장의 소개를 마치겠다.
(∀x)(∃y)Lxy: For all x, there are some y such that x love y.
(∃x)(∀x)Lxy: There are some y such that ,for all x, x love y.
권병진 박사 강의록 & 강의노트 참고
