1장. 논리학이란 무엇인가

1장. 논리학이란 무엇인가

 

1.1 논리적 귀결과 논리적 참

 

논리학은 논리적 귀결을 가장 중점적으로 다룬다. “어떤 사람은 남자다”는 “그랜트는 남자다”의 논리적 귀결이 다. 만약 그랜트가 남자라면, “누군가는 남자다”가 논리적으로 따라 나온다. 즉, “그랜트는 남자다”는 “누군가 는 남자다”를 논리적으로 함축한다.

논리적 귀결은 그 형식 때문에 진리-보존적인 것^[각주:1]이다. 가령, a는 b의 논리적 귀결이라고 할 때, 이것은 만약 b 라면 a가 참인 것인데, 이 사실을 우리 모두가 아는 것이 아니다. 심지어 우리 모두가 이것을 안다고 해도 이것 은 논리적 귀결이 아니다. 다음 논증은 그 형식 때문에 타당한 논증이다: A & B, ~A ᅣ B. 우리가 이 식의 A, B에 어떤 것을 집어 넣던지 간에, 일반적인 경우에 이 식은 항상 타당하다.

논리적 참은 그 형식 때문에 참인 것이다. 이것 역시 위의 논리적 귀결처럼 그 내용 때문에 참인 것이 아니라, 그 형식 때문에 참이다.

 

1.2 형식화

 

현대 논리학은 수학적, 기호 논리학이라고 불린다. 왜냐하면 그 방법이 형식 언어의 수학적 탐구이기 때문이다. 현대 논리학자는 문장과 다른 수학적 대상으로서의 언어의 부분을 다루기 위해 수학의 도구(가령 집합)를 사용 한다. 그들은 형식 언어를 정의하고, 언어의 문장을 정의하고, 그 문장의 속성을 정의하고, 그 속성들을 탐구한 다. 수리 논리는 원래 수학적 추리를 탐구하기 위해 발전되었지만, 그 기술은 현재 모든 종류의 추리에 적용된 다.

가령, 2 장에서 다룰 명제 논리를 가지고 말하자면, 여기서 우리는 어떤 자연 언어를 인공 언어로 번역한 뒤 분 석할 것인데, 거기서 쓰이는 기호들은 다음과 같다. & and, v or, ~ not, ≡ 동치, ⊥ 모순, T 항진 등.

 

Q. 형식화된 논리적 귀결과 논리적 참은 실제의 것과 구별되어야 한다.

1. (1)  형식 문장 P→P는 항진 문장이지만, 이것은 (논리학에서 사용하는 의미로) 해석되지 않았기 때문에, 논리 적 참이 아니어야 한다. 오히려, 이것은 “만약 눈이 하얗다면, 눈이 하얗다” 같은 논리적 참을 표현하는 것 이다.
2. (2)  형식 문장 P→P는, 의미를 갖지 않기 때문에, 참이 아니다. 그렇다면, P의 의미는 무엇인가? P가 의미를 가지려면 그것을 자연 언어로 번역해주어야 한다. 가령, P는 눈이 하얗다를 의미한다고 해보자. 그러면, “만 약 눈이 하얗다면, 눈은 하얗다”가 되기 때문에 (현실 세계에서) 이것은 참이다.

Q. 왜 형식 언어를 ‘형식적’이라고 부르는가?

 

형식 언어에서 사용되는 속성들은 피와 살을 가진 언어적 구성체 안에 선재(先在)하는 것이 아닌, 수학적으로 약정된 것이기 때문이다. 우리는 형식 언어의 문법을 약정하고, 우리가 탐구하고자 하는 기호 문장(가령 항진 속성)의 임의의 속성을 약정해야 한다. 게다가, 형식 언어는 종종 문장 문자 P, Q... 같은 추상체를 포함한다.

 

1.3 메타논리학

 

메타논리학은 그 이름 때문에 신비로운 무언가라고 오해될 수 있지만 사실 이것은 그런 종류의 것이 아니다. 초급 논리 시간에 우리는 특정 논리 체계를 사용한다. 가령, 진리표를 만드는 법, 추론 규칙 및 진리 나무 등. 그

러나 논리학자가 새로운 체계를 발전시키자마자, 그는 그 체계에 대해 탐구한다. 즉, 메타 논리학은 형식 체계 에 대한 물음을 탐구하는 것이다.
Q. 논리학자는 보통 “대상 언어”와 “메타 언어”를 구분한다.

대상 언어는 탐구되고 있는 그 언어이다.
(예) 명제 논리의 언어: P&Q. 이 기호로 표현된 명제 논리 자체가 대상 언어이다. 메타 언어는 우리가 그 대상 언어에 대해 말하기 위해 사용하는 언어이다.

(예) ‘P & Q’는 세 개의 기호를 가진 형식 문장이다. 이 예문에서 메타 언어는 한글이다.

 

1.5 논리적 귀결의 본성

 

진정한 논리적 귀결이란 무엇인가? 그것의 본성이란 무엇인가? 이것에 대한 답은 논쟁적이다. 여기에 열린 철학적 물음이 있다는 것을 아는 것은 중요하다. 용어 ‘논리적 귀결’, ‘논리적 참’이 보통 논리책에서 약정된다 는 사실에 의해 이것은 모호한 것으로 여겨진다. 물론 이 물음은 그 표기에 관한 것은 아니다. 이것은 약정된 정 의가 표현하고자 하는 논리적 귀결의 표기에 관한 것이다. 이 물음에 대한 4 가지 답변들을 보자.

1. (1)  의미론적 귀결 (P1, ... Pn ⊧ C); 우리는 이 접근 하에서, 어떤 형식 언어를 선택하고, 그 선택된 언어에 대 하여 어떤 해석을 규정한다. 또한, 그 언어의 문장에 대한 어떤 모델 내의 참 개념을 규정하고, 마지막으로 그 선택된 언어에 대한 논리적 귀결을 모델의 진리-보존으로 표현한다. ∅는 Ɛ1, Ɛ2 ... 의 논리적 귀결로
2. 표현된다 iff ∅는 각각의 Ɛ1, Ɛ2 ... 이 참인 어떤 모델에서도 참이다)
3. (2)  증명론적 귀결 (P1, ... Pn ⊢ C); 이 귀결은 진리-보존 보다는 증명 가능성 문제에 더 가깝다. 이 귀결은 우리가 형식 언어의 문장들 사이의 증명 가능성 관계를 규정하는 형식화와 관련된다. 형식 언어의 문장들 간의 특정 받아들일 만한 “이행”을 정의할 때, 우리는 이것을 사용한다: 어떤 문장 ∅는 문장 Ɛ1, Ɛ2, ...
4. 로부터 증명 가능하다 Iff Ɛ1, Ɛ2, ...에서 ∅로의 받아들일 만한 이행에 의해 움직이는 어떤 방법이 있다.
5. (3)  콰인식 논리적 귀결: ∅는 Ɛ1, Ɛ2, ...의 논리적 귀결이다 iff Ɛ1, Ɛ2, ...를 모두 참이고 ∅이 거짓이 되게
6. 하기 위해, Ɛ1, Ɛ2, ...와 ∅ 에서의 비논리적 표현을 다른 표현으로 대체할 방법이 없다.
7. (4)  양상적인 논리적 귀결: ∅는 Ɛ1, Ɛ2, ...의 논리적 귀결이다 iff ∅가 참이 아니고서 Ɛ1, Ɛ2, ...가 모두 참 인 것은 불가능하다.

 

 

참고: Sider, Theodore. "Logic for philosophy." (2010).

1. 전제에서의 참이 결론에서도 보존되는 것 [본문으로]