1. 명제 논리 (propositional logic)
1.1 진리함수적 연결사 truth-functional connective
명제논리는 진리함수적 연결사(&,v,~,->) 를 논리적 상항으로 간주하는 논리체계이다. 명제논리에서 타당하다는 것은 진리함수적 연결사에 의해 표현된 타당한 논증형식의 대입예인 셈이다. 즉, 진리함수적 연결사의 의미 때문에 논증형식은 전제들이 모두 참이면서 결론이 거짓인 대입예를 갖지 않는다. 여기서 진리함수적 연결사의 의미는 연결사 x라는 표현이 수행하는 역할로 간주될 수 있다. 예를 보자.
P 이거나 Q.
Q는 사실이 아니다.
------------------------
P.
이 논증형식은 진리함수적 연결사인 OR, AND, NOT의 논리적 역할 또는 의미 때문에 타당한 논증형식이다. 즉 이 두 진리함수적 연결사의 의미 때문에 위 예와 같은 논증형식은 전제들이 모두 참이면서 결론이 거짓인 대입예를 갖지 않는다.
연언문 conjunction
and, but <=> &
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
실상 and는 그리고를 뜻하는 진리함수적 의미를 가지기도 하는데, 매우 자주 시간의 선후를 의미하기도 한다. 따라서 &의 의미는 맥락에 의존한다. 따라서 가령, P와 Q 에 대한 연언문이 있을 때, 위 진리표는 P와 Q 그리고 문장형식 P&Q 의 대입예들의 진리치를 나타내고 있다.
그러나 우리가 일상언어, 가령, "철수는 크고 착하다", 문장을 단지 명제논리 언어로 번역한 문장으로 간주한다면, 각 행은 무엇을 의미할까? "철수는 크고 착하다"는 문장은 "철수는 착하다"와 "철수는 크다"인 문장이 모두 참인 가능상황에서 그리고 그러한 가능상황에서만 참이다.
NOT(It is not the case that ...)
위 부정은 ...에 대입되는 문장이 거짓인 경우에 그리고 그러한 경우에만 그러한 대입에 의해 생성된 복합문장이 참이다. NOT은 기호로써 ~를 사용하며 따라서 ~P는 NOT P를 의미한다.
| P | ~P |
| T | F |
| F | T |
하지만 논리적 부정과 문법적 부정은 다르다. 논리적 부정은 P와 ~P가 모순관계여야 한다. "어떤 새는 날지 않는다."는 문장은 어떤 문장의 부정인가? 이 물음은 애매하다. 위에서 말하는 부정이 논리적 부정인지, 문법적 부정인지 알 수 없기 때문이다. 문법적으로는 "어떤 새는 난다."가 위 문장의 부정이며, 논리적으로는 "모든 새는 난다."이다. 따라서 "어떤 새는 날지 않는다"가 P라고 할 때, 논리적으로 부정인 문장인 "모든 새는 난다"가 ~P가 될 수 있다. 그리고 이 둘은 서로 모순 관계에 놓인다.
선언disjunction (OR)
선언문 또한 사실 서로 다른 진리함수를 의미하는 애매한 연결사이다. 대개의 경우, 선언문은 선언의 야쪽에 있는 문장 둘 중 적어도 하나가 참이면 그리고 그러한 경우에만 참이다. 이러한 진리함수적 역할을 하는 선언을 "포괄적 선언inclusive disjunction"이라고 일컫는다. 반면에, 선언의 양쪽에 있는 두 문장들 중 오로지 한 개의 문장만이 참인 경우에 그리고 그러한 경우에만, 참인 문장이 있다. 이를 "배타적 선언문exclusive disjunction(xor)"이라고 일컫는다. 가령, "내일 등굣길에는 차를 타거나 버스를 탄다"고 말하면서, 만약 내일 등굣길에 차도 타고 버스도 탄다는 계획이 틀린 것으로 간주될 수 있다고 생각하고, 그러한 의미를 이러한 계획적 진술의 내용 속에 포함시켰다면, 그는 스스로 그리고 조금 독특하게 자신의 계획 문장을 배타적 선언문으로 이해하고 있는 셈이다. 포괄적 선언문은 v를 기호로, 배타적 선언문은 eor을 기호로 사용한다.
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P
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Q
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P v Q
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P eor Q
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T
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T
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T
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F
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T
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F
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T
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T
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F
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T
|
T
|
T
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F
|
F
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F
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F
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또한 배타적 선언문은 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.
P eor Q iff (P V Q) & ~(P & Q)
따라서 일상 언어에서의 배타적 선언문을 명제논리의 언어로 번역하기 위해 eor 과 같은 특별한 기호를 사용할 필요는 없다. 대개에 있어서 eor은 위 문장의 우변으로 표현된다.
"만약... 이면, ... If ... then ..."
소위 조건문이라고 불리는 "만약... 이면"은 사실 매우 다양한 의미에서 사용된다. 아래의 예를 들어보자.
1. 만약 모든 사람이 죽고 철수가 사람이라면, 철수는 죽을 것이다. (논증을 문장으로 만든 것)
2. 만약 영희가 노처녀라면, 그녀는 결혼하지 않았다. (분석적 연결)
3. 만약 회로에 전압이 인가된다면, 회로에서 전류가 흐를 것이다. (실질 세계에서 인과관계를 나타내)
4. 만약 네가 1등을 한다면, 내일 내가 100만원을 기부하겠다. (의지를 나타내)
(a)만약 네가 외계인이라면, 나는 좀비다. (질료적 조건문 또는 질료적 함축; 위 문장은 두 항의 실질 관계가 없을뿐만 아니라, 참이 되기 위한 조건이 가장 약하다. 왜냐하면 전건이 거짓일 때 반드시 참일테니까)
일반적으로 a의 문장은 "너는 외계인이 아니다"를 주장하기 위해 쓰였을 것이다. 그렇다면 어떠한 이유로 "너는 외계인이 아니다"를 말하기 위해 (a)와 같은 문장을 쓰는 것일까? 아래를 참고해보라.
만약 네가 외계인이라면, 나는 좀비다.
나는 좀비가 아니다.
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따라서 너는 외계인이 아니다.
사실 내가 좀비가 아니라는 사실은 너무나도 명백하게 알고 있다. 따라서 너무도 명백하여 생략된 문장 "나는 좀비가 아니다"는 문장으로부터 "너는 외계인이 아니다"를 추론할 수 있다. 즉, 위 논증형식이 타당하기 때문에 우리는 문장(a)를 쓸 수 있는 것이다. 따라서 이 문장은 "너는 외계인이다"는 문장이 참이고 "나는 좀비다"는 문장이 거짓인 경우에 그리고 그러한 경우에만 거짓이다. 즉, 이 문장은 "너는 외계인이다"가 거짓이거나 "나는 좀비다"는 문장이 참인 상황에서 참이다.
문장 (a)에서의 "만약.. 이면..."은 전건이 참이고 후건이 거짓인 경우에 그리고 그러한 경우에만 이것에 의해 구성된 복합문장의 진리치가 거짓으로 결정되게끔 하는 진리함수적 연결사이다. 그리고 이를 '질료적 함축material implication 또는 질료적 조건material conditional 이라고 부른다. 이에 대한 진리표를 알아보자.
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P
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Q
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P⇒Q
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T
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T
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T
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T
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F
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F
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F
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T
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T
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F
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F
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T
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또한 아래와 같이 정의할 수도 있다.
P ⇒Q iff ~(P&~Q)
P ⇒Q iff ~P V Q
우리는 일상언어에서 문장을 명제논리의 언어로 번역할 때, 모든 종류의 조건문을 오로지 질료적 함축으로 간주하고 번역할 것이다. 물론 그 과정에서 의미의 손실이 일어날 수 있지만, 그러한 조건문이 논증의 전제로 사용될 경우, 그 조건문을 질료적 함축으로 번역하여 논증의 타당성을 검사한 결과 타당하다고 평가된다면, 일상언어에서의 논증 또한 틀림없이 타당하였을 것이다. 왜냐하면, 1. 명제논리 언어로 번역된 논증은 일상 언어에서의 논증보다 더 weak 전제를 갖으며, 2. 또한 타당한 논증보다는 더 strong 전제를 갖고있으면서, 다른 측면에서는 동일한 논증은 분명히 타당하기 때문이다. 그러나 일상 언어에서의 논증이 타당하다고 해서 전제인 조건문을 질료적 함축으로 번역하여 논증의 타당성을 검사하였을 때 타당하다는 평가 결과가 반드시 산출되지는 않는다.
*P가 T이고 Q가 T 라고 해서 P⇒Q 또한 T인 것은 아니다. 우리가 원하는 if ...then 을 가져야 한다.
*Because P, so Q 는 진리함수적 연결사가 아니다.
1.2 진리표를 이용한 타당성 검사 (의미론적 검사방법)
우리는 일상언어에서의 논증을 명제논리의 언어로 형식화한 "형식화된formalized 논증"을 만들기도 한다. 만약 그 논증형식이 가령, 선언3단논법 이라면, 그 형식은 타당할 것이다. 왜냐하면 선언3단논법은 전제가 모두 참이면서 거짓이 결론인 경우가 없는 타당한 논증형식이기 때문이다.
우리는 진리표를 이용하여 논증의 타당성을 검사하는 방법을 의미론적 방법이라고 부른다. 문장의 참, 거짓을 따지는 것은 세계와 관련지어야 하기 때문에 의미적인 것이다. 참, 거짓이라는 개념은 또한 가장 대표적인 의미론적 개념들 중 하나기 때문이기도 하다. 실상 의미는 언어가 세계와 만나는 통로이다. 문장의 의미가 무엇이냐는 물음에 대한 가장 인기있는 대답은 "진리조건이다." 즉, "소크라테스는 용감하였다"의 의미는 언제 우리가 이 문장에 대해 "참"이라고 판단하는지 그 조건이다. 따라서 참은 대표적인 의미론적 개념이며 그리고 바로 이 사실 때문에 타당성이라는 개념도 중요한 의미론적 개념이다.
즉, 타당성 개념 자체가 의미론적 개념이라면 진리표를 이용한 타당성 검사 방법과 같은 의미론적 검사 방법은 타당성을 직접적으로 검사하는 방법이다. 즉, 의미론적 검사 방법은 타당성 개념의 정의를 직접적으로 적용하는 방법이다. 반면, 형식적 증명과 같은 구문론적 검사 방법은 논증의 타당성을 간접적으로 검사하는 방법이라고 말할 수 있다.
권병진 박사 강의록 & 강의노트 참고
