지난 십 수년 동안 양상성에 대한 우리의 이해는 가능 세계 의미론을 통해 증진되어 왔다. 이 프로젝트는 양상 문장이 어떤 가능 세계에서 참인 조건인지를 체계적으로 명시함으로써 양상 언어를 분석하는 것을 가지고 진행되었다. 나는 전건 A와 후건 C를 가진 반사실 조건문을 A ◻︎→C로 표현할 것이다. 이것은 “만약 A 였더라면, C였을 것이다”라고 읽을 수 있다.
1. 분석
1.1. 반사실 조건문 (이하 ‘반사실문’이라 약칭)은 고정된 엄밀 조건문이 아니다.
분석 0. A ◻︎→C은 세계 i에서 참이다 iff 모든 ___인 그런 A-세계에서 C가 성립한다. (여기서 ‘___’은 불가능하지 않은 어떤 것도 들어갈 수 있는 일반적인 빈 칸이고, ‘A-세계’는 A가 성립하는 세계를 의미한다.)
분석 0에서 빈 칸은 A-세계를 제한하는 조건이다. 이 조건은 세계 i에는 의존하지만 A에는 의존하지 않는다. 예를 들어, 우리는 단지 어떤 특정한 측면에서만 i와 들어맞는 A-세계만을 고려할 수 있다. 이 분석에서 반사실 조건문은 어떤 고정된 엄밀 조건문이다.
여기서, 분석 0은 옳지 않다. 그 반례를 보자.
(반례 1) 만약 A ◻︎→~B가 i에서 참이라면, ___인 그런 모든 A-세계에서 ~B는 참이다. (아래 그림에 적용해서 보려면, ~B를 B의 여집합으로 간주하고 보라.) 즉, ___인 그런 AB-세계는 존재하지 않는다. (즉, 아래의 그림에서 나타나듯이, __인 A세계에서 B가 참이 아니다 (B가 A에 포함되지 않는다). ‘AB’는 연언문 A&B를 의미한다) 그러면, C가 무엇이든지 간에, AB ◻︎→ ~C와 AB ◻︎→ C는 둘다 공허한 참이다. 왜냐하면 (___인 그런 AB-세계는 존재하지 않기 때문에) AB는 거짓이기 때문이다. 그리고 이들의 부정인 ~(AB ◻︎→ ~C)와 ~(AB ◻︎→ C)는 모두 거짓이다. 반면에, A ◻︎→ ~B는 참이지만 (그래서 A&~B는 참이고, AB는 거짓이다), AB ◻︎→ ~C는 (AB가 앞과 같이 거짓일지라도) 비공허하지 않고, AB ◻︎→ C는 거짓일 수 있다. 실제로 우리는 임의적으로 긴 비공허하게 참인 반사실 조건문과 그 반대의 부정1을 얻을 수 있다. 다음의 예를 보자.
(예) 만약 알버트가 파티에 참석했더라면, 그는 베티를 데려오지 않았을 것이다: A ◻︎→ ~B. 왜냐하면, 그가 알기로는, 만약 그가 파티에 참석하고, 베티를 데려왔더라면, 칼은 파티에 남아있지 않았을 것이기 때문이다: AB ◻︎→ ~C. 왜냐하면, 칼이 알기로는, 만약 알버트가 파티에 참석하고, 베티를 데려오고, 칼이 남아 있었더라면, 데이지는 그와 춤을 추지 않았을 것이기 때문이다: ABC ◻︎→ ~D. 이 각 단계의 문장들은 분석 0에 대한 반례들이다. 즉, 이 조건문들은 엄밀 조건문 (가령, ◻︎(p → q))이 아니다. [* 왜냐하면 가령 첫 번째 문장만 고려해보자면, 분석 0에 따라 이것이 ◻︎(A → ~B)와 동치라면, A ◻︎→ ~B는 엄밀 조건문인 “알버트가 파티에 참석한다면, 베티가 오지 않았을 것이다는 필연적이다”와 동일한 의미를 가져야 할텐데, 우리는 알버트가 파티에 참석하고 베티도 파티에 참석한 가능성을 얼마든지 상상할 수 있기 때문에, 앞의 문장에서 ‘필연적이다’는 성립하지 않는다.]
(반례 1.5) 이것은 (반례 1)의 또 다른 버젼일 뿐이다. “만약 존이 톰을 보자마자 총으로 쐈더라면, 존은 살아남았을 것이다”와 “만약 존이 톰을 보자마자 총으로 쐈지만 톰이 갑옷을 입고 있었더라면, 존은 살아남지 못했을 것이다.” — 이 두 문장을 기호화해서 생각해보자. 전자의 문장을 (1), 후자의 문장을 (2) 같이 표현한다고 해보자:
(1) ∅ ◻︎→ 𝛤
(2) (∅ & 𝒢) ◻︎→ ~𝛤
(1)이 참이라고 해보자. 그러면, ∅&𝛤 - 세계는 모든 가능 세계에서 존재할 것이다. 그리고 (2)도 참이라고 해보자. 그러면, ( ∅&𝒢&~𝛤 )-세계도 모든 가능 세계에서 존재해야 한다. 그런데 여기서 문제가 발생한다. 왜냐하면, "분석 0에 따를 때" ∅&𝛤 - 세계가 모든 가능 세계에서 존재한다면, ∅&~𝛤 - 세계는 존재할 수 없기 때문이다. (2)는 ∅ 와 𝒢가 둘다 접근 가능하지 않은 경우에만 공허한 참일 뿐이다. 하지만 그런 세계들이 선험적으로 존재하지 않는다고 간주할 이유는 거의 없어 보인다. 나아가, 이것이 (∅ & 𝒢 & P & …) ◻︎→ ~𝛤이 된다고 하더라도, 이것은 항상 공허한 참일 뿐이다.
(반례 2) 분석 0은 A ◻︎→ C가 AB ◻︎→ C를 함축한다는 것을 함의한다. 즉 분석 0에 따르면 < __인 그런 모든 A 세계에서 C가 성립한다 >는 것은 < __인 그런 모든 AB 세계에서 C가 성립한다 >는 것을 함축한다. 하지만 우리는 전자가 후자를 함축하지 않는 상황을 얼마든지 상상할 수 있다. 가령, 나는 “만약 내가 성냥을 그었더라면, 불이 붙었을 것이다”로부터 “만약 내가 성냥을 그었고, 그 성냥이 물에 젖어있었더라면, 불이 붙었을 것이다”가 따라 나오지 않는 다는 것을 얼마든지 상상할 수 있다. 따라서 분석 0에 의한 A ◻︎→ C이 AB ◻︎→ C를 함축한다는 것은 받아들여질 수 없다.
즉, 반사실 조건문은 고정된 엄밀 조건문이 아니다. 하지만 적어도 분석 0의 다음 부분들은 옳다: (1) 반사실문의 참을 평가할 때 우리는 특정 전건 세계에서 후건이 성립하는지 고려해야 한다 (2) 우리는 모두가 아닌 오직 일부의 전건 세계만을 고려해야 한다. 우리는 쓸모없이 현실 세계로부터 먼 전건 세계를 무시할 수 있다.
우리는 가변적인 variably 반사실 조건문이 필요하다. 반사실문을 고려할 때, 그것의 전건은 우리로 하여금 현실 세계와 동떨어진 세계를 생각하게끔 해준다. “내가 바닥에 돌을 던졌더라면”을 생각할 때, 나는 중력의 법칙이 성립하지 않거나, 그 돌이 질량이 없는 돌이라는 세계를 고려한다면 나는 잘못을 범하고 있는 것이다.
우리는 전건이 참이면서 다른 나머지 것들은 현실 세계와 동일한 그런 세계를 꿈꾼다. 하지만 이것은 헛된 희망이다. 차이들은 무한하게 많이 나타나기 때문이다. 20 세기에 아인슈타인이 상대성 이론을 고안해내지 못했다는 점에서만 우리 세계와 다른 세계를 가정해보자. 그 이론은 고안된 적이 없지만 아인슈타인을 제외한 이후 세대의 대부분의 물리학자는 그 이론을 알고 있는 그런 세계는 받아들일 만한가? 하나를 바꾸면서 다른 모든 것을 고정한다면, 우리는 어떤 가능 세계도 갖지 못할 것이다. 대신에 우리는 다음과 같은 세계를 바래야 할 것이다: ▲현실 세계와 불필요하게 다르지 않은 어떤 전건 세계, ▲전건이 성립하는 것을 허락하는 정도로만 다른 세계, ▲모든 것을 고려할 때, 어떤 다른 전건 세계 보다도 우리 세계와 더 가까운 세계. 이제, 반사실 조건문을 가변적 엄밀 조건문으로 보는 첫 번째 분석을 보자:
1.2. 반사실 조건문은 가변 엄밀 조건문이다. 하지만 분석 1은 비교 유사성 판단에 있어서 동점을 허용하지 않는다.]
분석1. A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff C는 만약 그런 세계가 있다면, 가장 가까운 (접근 가능한) 그 A-세계에서 참이다. (스톨네이커 1968)
분석 1은 세계의 (비교 대상에 대해 상대적인) 비교 유사성2
— “가까움” —에 기초하고 있는데, 비교 유사성은 (비교의 특정한 측면이 특정되지 않는다면) 가망 없게도 부정확하다는 점에서 반대될 수 있다. 하지만 이것은 장점으로 작용한다. 반사실문도 부정확하다. 이 두 부정확한 개념 [비교 유사성 - 반사실문]은 서로 분리되지 않고 함께 엄밀하게 연결될 수 있고, 우리는 이들의 연결 관계가 정확하기를 바랄 수 있다. 비교 유사성이 부정확할 지라도, 우리는 사람, 도시, 철학들 같이 복합적인 것에 대한 비교 유사성을 판단하고, 미리 주어지는 비교의 특정한 측면이 없이도 이것을 자주 수행한다.3 <우리가 비교의 다양한 측면에 부가하는 중요성>, <다양한 측면의 유사성 정도>에 따라, 우리는 유사성과 차이성의 균형을 맞춘다. 물론 여기서 대화의 맥락이 비교 유사성을 평가하는 데 큰 영향을 미치고, 고정된 맥락에서 조차도 우리는 이것을 판단하는 것에 많은 자유를 가진다.
하지만 모든 것이 허용되는 것은 아니다. 우리는, 비교의 측면들에 부가할 상대적인 중요성에 대한, 상호 합의된 기대, 그 기대에 대한 상호 기대가 있다. 이들은 우리가 오해없이 소통할 수 있다는 점에서 비교 유사성의 부정확함을 해소할 만큼 충분히 확실하고 정확하며 견고하다. 따라서 우리는 이러한 부정확함을 받아들일 수 있다.
[분석 1의 문제점]
나는 i에서 “접근 가능한” A-세계들에 제약을 부여했다. 우리는 때로 어떤 세계가 A 세계이면서 그것보다 더 가까운 A 세계가 없다고 하더라도 i와 너무 동떨어져 있기 때문에 (i에서) 항상 무시되어야 할 세계가 있다고 생각할 수 있다. 만약 그렇다면, 우리는 이 세계들을 “i에서 접근 불가능하다”고 여김으로써 이들을 무시할 수 있다. 나는 이 문제에 중립적인 입장을 취하고자 한다. 우리는 단순하게 모든 세계가 접근 가능하다고 여김으로써 이 제약을 버릴 수 있다.
유감스럽게도, 분석 1은 완전히 잘못된 가정에 의존하고 있다. 즉 두 개 이상의 가장 가까운 A 세계는 없다는 것이다. 비교 유사성의 단계적 차이 gradation는 너무 세밀해서, 무한히 많은 세계들과 다양성이 있더라도, 모든 무승부가 해소된다는 것이다. 예를 보자.
A: “비제와 베르디는 같은 나라 사람이다”
F: “비제와 베르디는 프랑스인이다”
I: “비제와 베르디는 이탈리아인이다”
가장 가까운 F 세계와 I 세계가 있다고 해보자. 그리고 이들의 이중 국적 취득은 불가능하다고 해보자. F 세계와 I 세계는 가장 가까운 A 세계가 되기 위해 결승전에서 경쟁하는 두 세계들이다. [어떤 요소 때문에 둘 중 어느 하나가 더 선호될 수 있다.] 가령, 베르디는 프랑스에서 가까스로 탈출한 데 반하여, 비제는 이탈리아에 머무르는 것에 빠져나오지 못했다. 그러나 우리는 그런 행운에 의존할 수 없다. I 세계를 선호하는 측면과 F 세계를 선호하는 비교의 측면이 완전히 균형을 맞출 수도 있기 때문이다. 분석 1에 따르면 무승부를 유지시키는 것은 불가능하다. 분석 1에 따르면, 내가 원하는 무엇이든지 (위 사례에서는 F 세계든, I 세계든, 어느 다른 U 세계이든) 가장 가까운 A 세계에서 참이 되는데, 왜냐하면 단 하나의 가장 가까운 세계가 없기 때문이다. (즉 공허한 참이다) 이 경우에 만약 비제와 베르디가 같은 나라 사람이었다면, 그들은 한국인이었을 수도 있었다.
1.3. 무승부(동점) 허용하기
분석 2. A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff C는, A-세계와 가장 가까운 (접근 가능한) 세계가 있다면, 그 모든 A-세계에서 참이다.
분석 2 하에서, 세계들의 무승부는 문제가 되지 않는다. 이 경우 비제 베르디 사례는 다음과 같이 따라 나온다: A ◻︎→ F, A ◻︎→ ~F, A ◻︎→ I, A ◻︎→ ~I는 모두 거짓이다. A ◻︎→ (F v I)와 A ◻︎→ (~F v ~I)는 둘다 참이다. A ◻︎→ (F & I), A ◻︎→ (~F & ~I)는 둘다 거짓이다. 이 결론은 충분히 합리적인 것처럼 보인다.
그러나 이들을 말로 옮기면 좋게 들리지 않는다. 우리는 A ◻︎→ F, A ◻︎→ ~F은 거짓이고, [따라서] 이들의 부정을 주장하고자 한다. 하지만 이들의 부정을 자연 언어에서 (영어에서) 표현했을 때 우리는 원했던 ~( A ◻︎→ F), ~(A ◻︎→ ~F)을 얻지 못한다. 오히려, 부정 기호 ‘~’가 괄호 안에 들어가 후건에만 결합된다: 우리는 A ◻︎→ ~F, A ◻︎→ ~~F을 얻게 된다. 이들은 한 쌍의 거짓인데, 이들은 함께 비제와 베르디가 같은 나라 사람일 수 없었다는 추가적인 거짓을 함축한다. [하지만] 이는 우리가 말하고자 하는 바에 정확히 반대되는 것이다.
후건을 부정하는 것과는 다르게, 반사실 조건문 전체를 부정하는 일은 왜 이렇게 어려운가? (분석 1)4의 옹호자는 이에 대한 설명을 갖고 있다. 그는 A가 불가능한 경우를 제외하면 유일한 가장 가까운 A 세계가 존재한다고 말한다. 그럴 경우, [A가 참인 가장 가까운 세계에서 C가 거짓이니까] ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C5가 둘다 참일 때 C가 거짓이거나6, 또는 이들이 둘다 거짓일 때 C는 참이다. 어떤 경우든 이들 [각각의 두 식이 같은 진리치를 갖는다는 점]은 일치한다. 우리는 [여기서] ~(A ◻︎→ C)를 표현하는 방법이 필요하지 않은데, 그 이유는 우리는 대신에 A ◻︎→ ~C를 표현할 수 있기 때문이다. (A가 불가능한 경우를 제외하는 경우에, 우리는 ~(A ◻︎→ C)이 거짓이기 때문에 이것을 표현하는 방법이 필요하지 않다.)
A가 불가능한 경우를 제외할 때 ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C가 동치라는 입장은 어느 정도 호소력이 있고, 그 때문에 우리는 다시 분석 1로 돌아가고 싶을지 모르겠다. 이보다 더 좋은 방법이 있다. 분석 1과 분석 2 간의 합의를 구성하여 반 프라센의 초가치supervaluations의 방법을 사용하는 것이다.
1.4. ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C가 동치라는 입장을 받아들이기 위해 분석 1과 분석 2를 타협하기
분석 1.5 7 A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff C는, 만약 존재한다면, A-세계와 가장 가까운 (접근 가능한) 세계들 중 임의로 선택된 하나의 특정 세계에서 참이다. 한 문장은 초-참 super-true이다 iff 어떻게 임의적으로 선택되든지 간에 참이다. 한 문장은 초-거짓이다 iff 어떻게 임의적으로 선택되든지 간에 거짓이다. 그렇지 않으면, 이 문장은 초-진리치를 갖지 않는다. 만약 특정한 임의적인 선택이 논의되지 않는다면, 우리는 ‘초-참’을 ‘참’으로 [‘초-거짓’을 ‘거짓’으로] 축약한다.
A가 불가능한 경우를 제외한다면, 분석 1과 분석 1.5는 ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C 이 둘이 동치라는 점에서 일치한다. 접근 가능한 A-세계가 존재한다면, 진리치(초-진리치)에 있어서 두 분석은 일치할 것이고, 이들의 쌍조건문(iff)은 초-참일 것이다. 한편, 분석 1.5는 분석 2 만큼 다행스럽게도 비교 유사성에 있어서 [세계들의] 무승부를 허용한다. 실제로 반사실 조건문은 분석 2 하에서 (초-)참인 경우에 그리고 오직 그 경우에만 분석 1.5에서 (초-)참이다. 다른 한편, 분석 1.5 하에서 초-참이 아닌 경우 또는 거짓인 경우에 그리고 오직 그 경우에만 분석 2 하에서 거짓일 수 있다. 비제와 베르디 경우에는 다음과 같이 나타난다:
* A ◻︎→ F, A ◻︎→ ~F, A ◻︎→ I, A ◻︎→ ~I와 이들의 부정은 진리치를 갖지 않는다.
* A ◻︎→ (F v I)와 A ◻︎→ (~F v ~I)는 초-참이다
* A ◻︎→ (F & I), A ◻︎→ (~F & ~I)는 초-거짓이다
초-진리치 결여(super-truth gap)을 거부하지 않는다면 분석 1.5는 분석 2 처럼 [세계들 간] 무승부 문제를 해결한다.
그러나 다시 “어떻게 반사실 조건문을 부정하는가” 물음으로 돌아와 보자. 우리는 결국 ‘would’ 반사실 조건문을 거부하기 위해, [그것의] 동일한 전건과 부정된 후건을 가진 ‘might’ 반사실 조건문을 사용하는 방법을 얻는다. 반대도 마찬가지다. ‘might’ 반사실 조건문을 거부하기 위해, ‘would’ 반사실 조건문을 사용한다. “만약 A 였더라면, C 일 수도 있었다”를 A ◇→C로 표기한다고 해보자.
(1) ~(A ◻︎→ C)와 A ◇→ ~C는 동치이다
(2) ~(A ◇→C)와 A ◻︎→ ~C는 동치이다
두 동치 관계는 ‘would’ 반사실 조건문에서 ‘might’ 반사실 조건문에 대한 명료한 정의를 산출시킨다.
(mw) A ◇→ C ≡ ~(A ◻︎→ ~C)
또는 만약 우리가 선호한다면 ‘might’ 반사실 조건문에서 ‘would’ 반사실 조건문의 정의를 얻을 수 있다. [즉 이들은 쌍방향으로 정의된다] 이 정의 (mw)과 분석 2에 따르면, A ◇→ C는 참이다 iff i에 어떤 가장 가까운 (접근가능한) A-세계에서 C는 참이다. 그러면, 비제와 베르디 경우에,
* A ◇→ F, A ◇→ ~F, A ◇→ I, A ◇→ ~I는 모두 참
* A ◇→ (F v I)와 A ◇→ (~F v ~I)도 모두 참
* A ◇→ (F & I), A ◇→ (~F & ~I)는 거짓
다른 한편, 분석 1 또는 분석 1.5과 위 정의 (mw)에 따르면, A가 불가능한 경우를 제외할 때, A ◇→ C와 A ◻︎→ C는 동치이다. 이는 위 분석의 옹호자들을 불편한 상황에 놓이게 한다. 그는 전건이 불가능할 때를 제외하고는 ‘would’ 반사실 조건문과 ‘might’ 반사실 조건문은 다르지 않다고 [즉 동치라고] 제대로 주장할 수 없다. 그러므로 그는 ‘might’ 반사실 조건문에 대한 나의 정의와 논쟁의 여지가 없는 것처럼 보이는 상기 두 동치 관계 (1), (2)를 거부해야 한다. 그는 우리에게 ‘might’ 반사실 조건문에 대한 다른 설명을 제공해야 하는데, 나는 그가 쉽게 알 수 있을 것이라고 생각하지 않는다. 마지막으로, 우리가 “전체 반사실 조건문”을 부정하는 방법이 있다는 것을 본다면, 우리는 왜 우리가 그것[앞의 그 방법]을 필요로 하지 않는지에 대한 그 옹호자의 설명을 더 이상 받아들이지 않아도 된다. 따라서 나는 그 옹호자가 적어도 분석 2로 넘어가는 것이 더 낫다고 생각한다.
유감스럽게도, 분석 2는 아직 만족스럽지 않다. 분석 1처럼, 이것은 어떤 그럴듯하지 않은 가정에 의존한다. 어떤 A-세계가 i에서 접근 가능하다는 점을 고려할 때, 우리는 i에 정확히 하나의 가장 가까운 A-세계가 존재한다는 것을 더 이상 가정하지 않는다; 하지만 우리는 여전히 적어도 하나의 가장 가까운 A-세계가 존재한다는 것을 가정한다. 나는 이것을 한계 가정이라고 부른다. 이것은 우리가 A-세계에 점점 더 가까워질수록, 우리는 결국 어떤 한계에 부딪히고 더 이상 나아갈 수 없다는 가정이다. [즉 분석 2는 여전히 만족스럽지 않은데, 그 이유는 그럴듯하지 않은 가정 —한계 가정—에 의존하기 때문이다] 하지만 왜 끊임없이 A-세계에 점점 더 가까워진다는 것은 일어날 수 없는가?
예를 보자: A는 “나는 7 피트 보다 크다”이다. 만약 우리 세계에 가장 가까운 A-세계가 있다면, 그들 중 하나를 골라보자. 그 세계에서 나의 키는 얼마인가? 나는 어떤 양수 ɛ에 대하여 키가 7+ɛ 이어야 한다. 그렇지 않으면, 그것은 A-세계가 아닐 것이다. 그러나 나의 키가 단지 7+(ɛ/2)인 A-세계들이 존재한다. 이 세계들은 나의 현실의 키[7 피트]와 더 가깝기 때문에, 나의 키가 7+ɛ인 (알려진 바에 따르면) 가장 가까운 A-세계 보다 이 세계들[7+ɛ/2] 중 하나가 우리 현실 세계에 더 가까운 것이 아닌가? 그리고 왜 내가 단지 7+ɛ/4 피트인 세계가 우리 세계에 더 가깝다는 것이 적합하지 않은 것이며, 이것은 무한히 진행될 수 없는 것인가? (일반적이지 않은 특별한 경우에 왜 그렇지 않은지에 대한 좋은 이유가 있다. 아마도 7+ɛ는 한 유전적 차이에 의해 만들어질 수 있는데 반하여, 그보다는 작지만 7 보다는 여전히 큰 임의의 키는 많은 유전적 차이에 의해 만들어졌을 것이다.) 만약 끝없이 i에 점점 더 가까운 A 세계가 존재한다면, 당신이 원하는 어떠한 후건도 i에 가장 가까운 모든 A-세계에서 참이다. 왜냐하면 그런 세계는 없기 때문이다. 만약 내가 7 피트보다 컸더라면, 나는 하늘에 머리를 부딪혔을 것이다.
분석 3. A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff 만약 (접근 가능한) A-세계가 있다면, 어떤 (접근 가능한) AC-세계는 모든(A&~C)세계 보다 i에 더 가깝다. 이것은 나의 최종적인 분석이다.
분석 3은 분석1, 2와 달라 보이지만, 원리에 있어서 비슷하다. 어떤 주어진 세계에 가장 가까운 (접근 가능한) A-세계가 있을 때마다, 분석 2와 분석 3은 A◻︎→C의 진리치에 대해 일치한다. 또한 그들은 (접근 가능한) A-세계가 없을 때도 [A◻︎→C의 진리치에 대해] 일치한다. 끝 없이 점점 더 가까운 A-세계가 있을 때, A◻︎→C는 참이다 iff 우리가 A-세계로 점점 더 가까이 다가갈 때, 우리는 결국 모든 (A&~C)세계들을 뒤로 제쳐두고 오직 AC세계를 찾는다.
A ◇→C를 ~(A◻︎→~C)로 정의할 때, 우리는 ‘might’ 반사실 조건문에 대한 이 파생적인 진리 조건을 얻는다: A ◇→C는 i에서 참이다 Iff 모든 접근 가능한 (A&~C) 세계에 대하여, i에 적어도 그만큼 가까운 어떤 AC 세계가 있고, 접근 가능한 A-세계가 있다.
우리는 분석 1에서 분석 3으로 갈 때, 비교 유사성에 대한 두 가지 가정들을 버렸다: ① 스톨네이커의 유일성 가정, ② 한계 가정. 그렇다면 남아있는 가정은 무엇인가?
먼저, 순서화 가정: 각 세계 i에 대하여, i에 대한 비교 유사성은 <i에서 접근 가능한 세계들의 약한 순서화>를 제공한다. 즉, j ≼i k라고 쓰는 것은 <k는 i에 j 보다 더 가깝지 않다>를 의미한다. [즉, j가 k 보다 i에 더 가깝다.] 각 ≼i는 연결되어 있고connected이고 이행적이다. [connected] j와 k가 i에서 접근 가능할 때마다, 그 순서화 관계는 j ≼i k 또는 k ≼i j이다. [trans] h ≼i j이고, j ≼i k일 때마다, h ≼i k 이다. 다소 인위적일지라도 비교 유사성 순서화를 접근 불가능한 세계도 포함하기 위해 확장하는 것은 편리하다. 우리는 각 ≼i 를 모든 세계들에 대한 약한 순서화라고 약정한다: 그러면, j가 i에서 접근 가능하고, k는 그렇지 않을 때마다, j는 k 보다 i에 더 가깝다.
다음으로, 중심화 가정: 각 세계 i는 그 자신에게 접근 가능하다. 그리고 각 세계는 어떤 다른 세계 보다도 그 자신에게 더 가깝다.
2. 재정식화
분석 3은 표면적으로는 다른 (하지만 동치인) 재정식화들이 주어질 수 있다.
2.1 비교 가능성
연결사 ≺를 도입해보자. A ≺ B는 “A가 B 보다 현실 세계로부터 덜 떨어져 있다” 또는 “B 보다 A인 것이 더 가능하다”는 어떤 세계 i에서 참이다 iff 어떤 (접근 가능한) A-세계는 어떤 B-세계 보다도 i에 더 가깝다. 먼저, 한 쌍의 양상들과 반사실 조건문은 다음과 같이 이 비교 가능성에 대한 새로운 연산자로 정의될 수 있다. ( ⊥는 모든 세계에서 모순인 어떤 문장 상항이라고 하자. 또는 이것을 임의적으로 선택된 모순이라고 하자; 그리고 ⊤ ≡ ~⊥라고 하자.)
◇A ≡ A ≺ ⊥; ◻︎A ≡ ~◇~A; A ◻︎→ C ≡ ◇A⊃(AC≺(A&~C)).
즉 위 같이 규정된 양상은 접근 가능성을 통해 해석된다. ◇A는 i에서 참이다 iff 어떤 A-세계는 i에서 접근 가능하다, 그리고 ◻︎A는 i에서 참이다 iff A는 i에서 접근 가능한 모든 세계에서 참이다. 만약 접근가능성 제약을 포기한다면, 따라서 모든 세계가 서로 접근 가능하다면, 그 세계들은 일상적인 ‘논리적’ 양상이 된다. (우리는 오히려 반사실 조건문으로부터 두 양상과 비교 가능성을 규정할 수도 있다.)
(1) ◻︎A ≡ ~A ◻︎→⊥
(2) ◇A ≡ ~◻︎~A
(3)A ≺ B ≡ ◇A & ((A v B) ◻︎→ (A&~B)).
(3)은 (3’) ((A v B) & (A & ~B) ≺ (A v B) & ~(A & ~B))와 동치다. 그리고 이 (3’)을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
2.2 공견지 가능성 Cotenability
B는 가정 A와 i에서 공견지 가능하다
① iff i에서 접근 가능한 어떤 A-세계는 어떠한 ~B-세계 보다도 i에 더 가깝다거나, 또는 if i에서 접근 가능한 A-세계가 없다.
② 즉, iff 가정 A는 ~B 보다 더 가능하거나 그렇지 않으면 불가능하다.
그러면, A◻︎→C는 i에서 참이다 iff C는 A와 함께 [각각 참이고, 가정 A와 i에서 공견지 가능한] 보조 전제들 B1, …로부터 따라 나온다. 여기서 하나의 연언은 어떤 가정과 공견지 가능하다 iff [그 연언 내의] 모든 연언지가 그 가정과 공견지 가능하다. 따라서 우리는 오직 단일의 보조 전제 B만을 고려하기만 하면 된다. 이 단일의 가정은 항상 (만약 A가 불가능하다면) ~A 또는 A⊃C로 간주될 수 있다; 따라서 ‘~로부터 따라 나온다’는 ‘진리 함수적 논리에 의해 따라 나온다’로 해석될 수 있다.
일반적인 의견은 자연의 법칙은 어떠한 가정과도 공견지 가능하다는 것이다. 단, 그 법칙과 그 가정이 명백하게 비일관적이지 않은 경우에. 법칙이 무엇이든지 간에 이들은 우리가 특히 중요하게 여기는 일반화이다. 만약 그렇다면, 세계 i의 만연하는 법칙에 순응하는 것은 i와 다른 세계들의 유사성을 평가할 때 매우 중요한 것이다. 그러므로 법칙은 비일관적이지 않는다면 반사실적 가정들과 공견지 가능한 경향이 있어야 한다. 하지만 이 경향성은 <법칙에 순응하는 것>이 <개별 사실의 차이에 너무 높은 비용을 지불할 때> 무시되어질 수 있다고 생각한다.
(예) i는 결정론적 법칙에 의해 (우리의 매우 작은 관심 조차도 고려하는 측면에 있어서) 지배된 세계라고 가정해보자. A는 시간 t에 성립하는 개별 사실에 관한 것이라고 해보자; A는 i에서 거짓이고, 모든 이전 시간에서 거짓으로 결정된다고 해보자; 모든 이 [거짓된 세계들]은 t 이전의 모든 시간에서 개별 사실에 있어서 i와 다르다고 해보자. 자연 법칙에 대한 어떤 작고, 국지적이고, 일시적이고, 지각 불가능한 중단[기적]은 A가 참이 되게 허용할 때, 다른 A-세계들은 t 직전까지 A와 정확히 유사하다. 나는 후자의 세계가 전자의 세계 보다 모든 것을 감안할 때 i에 더 유사하다는 것을 알게 된다.
2.3 유사성의 정도
대략적으로 말하자면, A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff (1) i에 대한 어떤 유사성의 정도에 있어서 A-세계가 있고 그 모든 세계에서 C가 참이거나, 또는 (2) i에 대한 모든 유사성의 정도 안에 A-세계가 없다.
세계들의 유사성이 다소 수적인 측정을 허용한다는 의심스러운 가정을 피하기 위하여, 각 “i에 대한 유사성의 정도”와 그 안의 모든 세계들의 집합을 동일한 것으로 간주하는 것이 최선인 것으로 보인다.
① <세계들의 집합 S>를 <i 주위의 구sphere>라고 부르자. Iff 모든 S-세계는 i에서 접근 가능하고, 어떤 ~S-세계 보다도 더 가깝다.
② A-허용 구 iff 이것은 어떤 A-세계를 포함한다. 구가 유사성의 정도를 표현한다고 할 때, 우리는 이런 재정식화를 얻는다:
③ A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff i 주위의 어떤 A-허용 구 내에서, 만약 그런 것이 있다면, A ⊃ C는 참이다.
다른 연산자들을 검토해보자:
➃ A ◇→ C는 i에서 참이다 iff AC-세계는, i 주변의 모든 A-허용 구의 어딘가에서, 만약 그런 것이 있다면, 참이다.
➄ ◇A는 i에서 참이다 iff i 주변의 어떤 구의 어딘가에서 A는 참이다
➅ ◻︎A는 i에서 참이다 iff i 주변의 모든 구 내에서 A는 참이다
➆ A ≺ B는 i에서 참이다 iff i 주변의 어떤 구는 (B가 아닌) A를 허용한다
➇ B는 i에서 가정 A와 공견지 가능하다 iff 어떤 i 주변의 A-허용 구 내에서, 만약 그런 것이 있다면, B는 참이다.
이 구들의 체계는 위상학의 이웃 neighborhood 체계 중 하나를 상기시킬 수 있지만, 이는 잘못된 것이다. 이웃들을 통해 포착된 가까움의 위상학적 개념은 순수히 국지적이고 질적일 뿐이지, 비교적이지는 않다. 즉 이 개념에는 인접함과 분리됨 밖에 없다. 이웃들은 한 점에서 비교적 가까움을 포착하지 않는다. 왜냐하면 그 점의 이웃들의 임의의 초집합(부분집합)은 그 자체로 한 점의 이웃이기 때문이다. 다른 한편, 한 세계 주위의 구는 둥지화nested되어 있어서 비교의 가까움을 포착한다: (순서화 가정과 구의 정의에 따르면) j는 k 보다 i에 더 가깝다 iff i 주변의 어떤 구는 j를 포함하지만 k를 배제한다.
2.4 고계 양화
위에서 보았던 메타-언어적 진리 조건은, 보조 장치의 도움을 받으면, 대상 언어의 명시적 정의로 표현될 수 있다.
A◻︎→C ≡ ◇A⊃∃S(∅S&◇SA&◻︎(SA ⊃ C)).
’S’는 명제에 대한 대상 언어 변항이다. ∅는 어떤 명제에 의해 i 세계에서 만족되는 고계 술어이다 iff 명제가 성립하는 모든 세계들의 집합은 i 주위의 어떤 구이다. 나는 모든 세계들의 집합이 (아마도 표현 불가능한) 어떤 명제의 진리 집합이라고 가정했다.
우리는 양상 조차도 양화할 수 있다. 이들은 명제들의 특정한 속성으로 이해될 수 있다.
어떤 양상은 구적spherical이다 iff 모든 세계 i에 대하여, <i 주위의 한 구>가 있고, 그 양상은 <그 구 내에서 성립하는 명제들>에 속한다.
◼︎를 모든 구적 양상에 대한 어떤 변항이라고, ◆를 ~◼︎~을 축약한 것이라고 해보자. 그러면 우리는 아래와 같은 식을 얻는다.
A◻︎→C ≡ ◇A⊃∃◼︎(◆A&◼︎(A⊃C)).
이 정의는 반사실 조건문이 가변적 엄밀 조건문이라는 생각을 명시적으로 포착한다.
가변적 엄밀성을 말하기 위해, 우리는 다른 구적 양상에 대한 엄밀성을 비교할 수 있어야 한다.
* 하나의 양상이 (국지적으로) 다른 양상보다 세계 i에서 더 엄밀하다 iff (전자의 양상이 아닌) 후자의 양상만 i에서 어떤 명제에 속한다.
* 두 개의 양상은 비교 가능하다 Iff 하나의 양상은 그 세계에서 더 엄밀하고, 다른 양상은 그 다른 세계에서 더 엄밀한 경우는 일어나지 않는다.
* 한 양상이 다른 양상보다 더 엄밀하다 iff 이들은 비교 가능하고, 전자의 양상이 어떤 세계에서 [후자의 양상보다] 더 엄밀하다
* 하나의 양상이 다른 양상보다 더 균일하게 엄밀하다 iff 전자의 양상은 모든 세계에서 [후자의 양상보다] 더 엄밀하다
* 비교적 엄밀성은 구적 양상에 대한 부분적 순서화일 뿐이다: 어떤 쌍들은 비교 불가능하다.
그러나 우리는 손실 없이 <우리의 변항 범위 ◼︎>를 <비교 엄밀성이 어떤 선형적 순서화인 구적 양상의 적절한 부분 집합>으로 제한할 수 있다. ( 세계 주위의 구의 포함 순서orderings가 모두 같은 유형인 경우에 그리고 오직 그 경우에만, 우리는 균일한 비교 엄밀성에 의해 선형적으로 순서화된 어떤 부분 집합을 사용할 수 있다.) 하지만 이런 선형 집합들은 유일하게 결정되지 않는다.
예: 비교 유사성은 오직 몇 단계의 차이gradation만 있다고 가정해보자. 예를 들자면, 오직 다섯 개의 다른 (비공허한) 각 세계 주위의 구만 있다고 가정해보자. ◻︎1 A는 i에서 참이다 iff A는 i 주위의 가장 내부의 (비공허한) 구 내에서 참이라고 해보자: ◻︎2 A는 i에서 참이다 iff A는 (그 가장 내부의 구 하나를 제외한 나머지) 가장 내부의 구 전체에서 참이다. ◻︎3, …, ◻︎5 도 마찬가지다. 그러면, 이 연산자들로 표현된 다섯 개의 구적 양상들은 하나의 적절한 선형 집합이다. 우리는 오직 어떤 유한한 범위만을 갖고 있기 때문에, 양화를 선언으로 대체할 수 있다.
A◻︎→C ≡ ◇A ⊃ ((◇1 A & ◻︎1 (A ⊃ C) v … v (◇5 A & ◻︎5 (A ⊃ C))
2.5 불가능한 제한-세계들
우리는 한계 가정이 의심스러웠기 때문에 분석 2에서 분석 3으로 넘어 왔었다. 어떤 경우에는 제약 없이 i 에 점점 더 가까운 A-세계가 있는 것처럼 보인다. 즉, 임의의 가장 가까운 A 세계는 없는 것처럼 보인다. 적어도 가능 세계들 중에는 없다. 그러나 우리는, 기꺼이 그곳에서 찾으려 한다면, 대신에 특정 불가능 세계 중에서 가장 가까운 A-세계를 찾을 수 있다. 만약 우리가 이 불가능 세계들을 고려할 것이라면, 한계 가정은 구제되고 우리는 안전하게 분석 2로 돌아갈 수 있다. [즉, 가능 세계 중에서는 가장 가까운 A-세계는 분석 2에 따를 때 없었는데, 불가능 세계에서는 그 분석에 따를 때 있다고 간주할 수 있다.]
우리가 필요한 불가능한 제한을 도입할 여러 방법들이 있다. 다음의 방법은 가장 단순하지만, 그 외 다른 방법들은 이보다 덜 임시 방편적으로 보일 수 있다. 제약 없이 i에 점점 더 가까운 A-세계들이 있다고 가정해보자; 그리고 ∑는 — 그 안의 문장들의 임의의 유한 연언 C에 대하여, 분석 3에 따라 i에서 A◇→C가 성립하는 —그런 문장들의 임의의 최대 집합이라고 가정해보자. 그러면 우리는 모든 ∑가 성립하는 어떤 불가능한 제한 세계를 상정해야 한다. 이것은 i에서만 접근 가능해야 하고, 모든 가능한 A-세계 보다도 i에 더 가깝지 말아야 한다. (불가능한 한계 세계에 대한 접근 가능성과 비교 유사성은 규정되지 않은 채로 둔다. 여기서 문장들의 참은 (일상적 진리 조건에 따르지 않고) 이 불가능한 한계 세계들이 한계limits로서 도입되는 방식에 의해 결정된다.) 분명히, 일단 이 불가능 세계가 고려 하의 세계들에 추가된다면, 이 한계 가정은 만족된다. 그러면, <분석 2와 분석 3에 따른 가능 세계에서 반사실 조건문의 진리치>가 <분석 3에 따른 그들의 원래의 진리치>와 일치한다는 것을 확인하는 것은 쉽다.
단지 상정된 이 불가능 세계는 최소한으로 반대될 수 있는 방식으로 불가능하다. 여기서 참인 문장들은 그들 모두가 함께 어떠한 가능 세계에서도 참이 아니라는 점에서 양립 불가능할 수 있다. 그러나 이 문장들로부터 어떠한 모순도 이끌어내는 올바른 방식은 없다. 왜냐하면 어떤 도출은 유한하게 많은 가정들로부터 진행되기 때문이다. 그리고 이 제한 세계들 중 한 세계에서는, 이 참인 문장들의 어떤 유한 부분 집합도 어떤 가능 세계에서 함께 참이다.
예: A가 “나는 7 피트보다 크다”일 때 가능 세계에서 한계 가정이 실패하는 경우를 회상해보자. 우리의 한계 세계는 — A에서는 참이지만, “나는 적어도 7.1 피트 보다 크다”, “나는 적어도 7.01 피트 보다 크다”, “나는 적어도 7.001 피트 보다 크다” 모두에서는 거짓인 — 불가능 세계일 것이다. (이들과 “내가 7 피트보다 무한소 만큼 더 크다”인 가능 세계와 혼동하지 말아야 한다. 왜냐하면, 내가 알기로는, 그런 가능 세계는 있지만, 물리적 규모가 어떤 실수로부터 무한소 만큼만 다른 “비표준적” 수치를 갖는 세계는 우리 현실 세계와 매우 근본적인 방식으로 다르고, 이 세계는 내 키가 7.1 피트인 어떤 표준 세계들 보다 현실로부터 더 멀게 만든다. 만약 그렇다면, “물리적 규모는 결코 비표준적 수치를 가질 수 없다”는 <내가 7 피트 보다 무한소 만큼 더 크지만, 우리 현실 세계에 대하 불가능한 가장 가까운 A-세계에서 참>인 모든 가능 세계에서 거짓이다.
이런 불가능한 제한-세계를 믿는 것은 얼마나 나쁜가? 내가 생각하기에는 매우 안 좋다. 그러나 내 생각으로는, 이 세계들을 명제의 집합 또는 문장의 집합 같이 덜 반대할 만한 무언가로 환원하지 말아야 할 근거는 없다. 나는 가능 세계들의 어떤 유사한 환원에 반대한다. 그 주된 이유는 우리가 살고 있는 가능 세계의 경우에, 그리고 우리 세계와 종류상 다르지 않은 다른 가능 세계에서, 이런 경우는 믿기 어렵기 때문이다. 그러나 이 반론은 불가능 세계에는 적용되지 않는다. 우리는 그런 불가능 세계에 살고 있지 않고, 가능 세계와 불가능 세계는 종류 상 다르기 때문이다.
2.6 선택 함수
불가능 세계를 받아들이거나 가능 세계에 대한 한계 가정을 받아들임으로써 옹호되는 분석 2는 어떤 함수 f를 도입함으로써 편리하게 재정식화될 수 있다. 그 함수는 임의의 전건 A와 가능 세계 i에 대하여 i 세계에 가장 가까운 (접근 가능한) 모든 A-세계의 집합을 선택하는 (그런 세계가 없다면 공집합을 선택하는) 함수다.
A◻︎→C는 어떤 가능 세계 i에서 참이다 iff 선택된 집합 f(A, i)에서 C는 참이다.
스톨네이커는 이런 방식으로 분석 1을 정식화한다. 하지만 그의 f(A, i)은 (만약 그런 게 있다면) “집합 자체”가 아니라, “선택된 집합의 한 원소”라는 점에서 [나의 것과] 다르다.
만약 우리가 원한다면, 우리는 이 선택 함수를 대상 언어에 포함시킬 수 있다; 하지만 반사실 조건문이 일반적으로 우연적이라는 것을 잊지 않으면서 이렇게 하기 위해서는, 우리는 이중 지표 double indexing에 호소해야 한다. 즉 우리는 어떤 특별한 문장을 세계 i에서 절대적으로 참이거나 거짓인 것이 아니라, 세계 j와 관계된 세계 i에서 참이거나 거짓이라고 생각해야 한다. 이것은 일상적 문장으로 구성된 일상적 반사실 조건문을 다루기에 충분할 것이다. 𝒻A (여기서 A는 일상적인 문장)는 i와 관계에 있는 j에서 참인 어떤 특별한 문장이다 iff a만약 j가 f(A, i)에 속한다면, C는 j에서 참이라고 해보자. 그러면, ◻︎(𝒻A ⊃C)는 i와 관계에 있는 j에서 참이다 iff C는 j에서 접근 가능한 f(A, i) 에 있는 모든 세계에서 참이다. 그러므로. ◻︎(𝒻A ⊃C)는 i 자신과 관계에 있는 i에서 참이다 iff C는 f(A, i)에서 참이다. 즉, A◻︎→C는 i에서 참이다. <♱B가 j와 관계에 있는 i에서 참이다 iff B는 i 자신과 관계에 있는 i에서 참이다>인 그런 연산자 ♱를 도입할 때, 우리는 다음과 같이 반사실 조건문을 규정할 수 있다.
A◻︎→C ≡ ♱◻︎(𝒻A ⊃ C)
2.7 3항 접근 가능성
우리가 원한다면, 우리는 반사실 조건문을 [A︎◻︎→]C로 재표현할 수 있다. 그러면 우리는 이때 ◻︎→를 이항 연산자가 아니라 문장 A에 대한 일항 연산자 [A︎◻︎→]로 간주한다. 만약 우리가 가장 가까운 A세계를 갖고 있다면, A가 가능할 때마다, 각 [A︎◻︎→]는 접근 가능성 관계를 통해 일반적인 방식으로 해석될 수 있는 필연성 연산자이다. j는 i에서 A-접근 가능하다 (또는 A에 상대적으로 i에서 접근 가능하다) iff j는 i에서 가장 가까운 (접근 가능한) A-세계이다. 그러면, [A︎◻︎→]C는 i에서 참이다 iff i에서 A-접근 가능한 모든 세계에서 C는 참이다.
[보통의 접근 가능성 관계는 이항 관계인데, 여기서는 A에 상대적으로 접근 가능한 3항 관계를 다룬다. 이것을 사용하면, 비교 유사성을 사용할 수 있다.]
3. 오류들
일반적인 조건문에서는 타당하지만 반사실 조건문에서는 부당한 논증 형태가 있다.
(1) 이행성: A◻︎→B, B◻︎→C ⊧ A◻︎→C
(2) 대우: A◻︎→C ⊧ ~C◻︎→~A
(3) 전건 강화: A◻︎→C ⊧ AB◻︎→C
(4) 보충 도입: A◻︎→(B ⊃ C) ⊧ AB◻︎→C
하지만 이들을 대체할 수 있는 관련된 타당한 논증 형태들이 있다.
(1’) A◻︎→B, AB◻︎→C ⊧ A◻︎→C
(2’) ~C, A◻︎→C ⊧ ~C◻︎→~A
(3’) A◇→C, A◻︎→C ⊧ AB◻︎→C
(4’) A◇→B, A◻︎→(B ⊃ C) ⊧ AB◻︎→C
이행성을 대체할 수 있는 타당한 형식들도 있다.
(5) A◻︎→B, ◻︎(B⊃C) ⊧ A◻︎→C
(6) B◻︎→A, A◻︎→B, B◻︎→C ⊧ A◻︎→C
(7) B◇→A, A◻︎→B, B◻︎→C ⊧ A◻︎→C
[반사실 조건문에서 부당한 논증 형태라고 여겨지는 각 항목들에 대해 생각해보자. (1) - (4)가 왜 반사실 조건문에서 부당한 논증 형태인지 생각해보자. 먼저, (1)에 대해 생각해보자면, “만약 성냥이 그어졌더라면 불이 켜졌을 것이다”, “만약 불이 켜졌더라면, 초에 불이 붙었을 것이다”, 따라서 “만약 성냥이 그어졌더라면, 초에 불이 붙었을 것이다”. 이 논증은 거짓일 수 있다. 왜냐하면 성냥이 그어지는 상황에서 초가 없는 가능 세계는 있을 수 있기 때문이다.
(2)에 대하여 생각해보자면, “만약 성냥이 그어졌더라면, 불이 켜졌을 것이다.” 따라서 “만약 불이 켜지지 않았더라면, 성냥에 불이 붙지 않았을 것이다.” 전자로부터 후자가 도출되지 않는 경우도 있는 것 같다. 그런데 이 경우는 (1) 경우 보다 좀 더 복잡한 것 같다. (1)의 경우에는 모든 식이 사건 A,B,C가 순차적으로 가령 시간 t에서 시간의 정방향으로 진행되는 데 반하여, (2)의 후자의 식에서 ~C에서 ~A로의 시간은 역방향으로 가기 때문이다. 이것은 나중 시간 t+1에 발생한 ~C 사건의 원인이 이전 시간 t에 발생한 어떤 사건을 찾는 경우인 것 같다. 만약 그렇다면, (2)는 부당한 논증일 수 있다. 왜냐하면, ~C의 원인은 사실 ~A가 아니라 어느 다른 사건 AB일 수도 있기 때문이다. 즉 가령 “만약 불이 켜지지 않았더라면, 성냥이 그어졌지만 그 성냥은 물에 젖었을 것이다”일 수도 있기 때문이다.
다음으로, (3)에 대해 생각해보자면, 이 경우는 간단히 부당한 논증임을 알 수 있다. 왜냐하면 가령 “만약 성냥이 그어졌더라면, 불이 붙었을 것이다.” 따라서 “만약 성냥이 그어졌고, 그 성냥이 물에 젖어 있었더라면, 불이 켜졌을 것이다”는 거짓일 수 있기 때문이다.
(4)에서 먼저 전자의 형식인 A◻︎→(B ⊃ C)에 대한 예를 들자면, “만약 A: 성냥이 그어졌더라면, <B: 그 성냥이 물에 젖었다면, C: 불이 켜졌을 것이다>”는 적절할 것 같다. 이것은 분석 3에 따를 때, 이 식은 (A & ~(B⊃ C)) 보다 ((A & (B⊃ C))이 우리 현실 세계에 더 가깝다는 것을 의미한다. 실질 함축 규칙을 이용하여 다시 표현하자면, 이것은 (A & ~B v C) 보다 (A & B & ~C)가 우리 현실 세계에 더 가깝다는 것을 의미한다. 이것에 앞의 예를 대입해서 생각해보자면 이렇다: “ 성냥이 그어졌고, 그 성냥이 물에 젖지 않았거나, 불이 켜진다” 보다 “성냥이 그어졌고 그 성냥이 물에 젖었고 불이 켜지지 않았다”가 우리 현실 세계에 더 가깝다. (여기서 각 사건들의 시점 간 구분에 대한 무시는 전술된 세계들이 일상적으로 이해 가능하다고 생각하기 때문에 고려하지 않는다) 하지만 직관적으로 생각해볼 때, 이들 중 무엇이 더 우리 현실 세계에 가깝다고 여겨질 만한가? 내 직관에 따르면, 적어도 후자의 경우가 전자의 경우 보다 (특별한 추가 사항이 없는 한) 더 우리 현실 세계에 가까운 것 같고, 그렇다면, 이것은 받아들일 만한 것 같다. 나의 다른 대안적 분석도 고려해볼 수 있을 것 같다. 이것은 진리함수적으로 표현된 전자의 식과 후자의 식을 각각 진리표로 분석한다. (A & ~B v C)은 거짓이고, (A & B & ~C)은 참인 가능 세계를 찾기 위해, 진리표를 이용해 분석해보면, 전자가 거짓인 경우는 f: 세계 → 진리치인 어떤 함수 f를 이용하여 표현하자면, (A,B,C) = (T, T, F), (F, T, F), (F, F, F)가 있고, 후자가 참인 경우는 (A,B,C) = (T, T, F)가 유일하다. 따라서 나는 이 경우에, 전자의 식이 거짓이고 후자의 식이 참인, 그래서 전자 보다 후자가 더 참이라고 받아들일 만한 분석을 얻을 수 있는 것 같다. 예를 들어, 다음의 상황을 상상해보자: ① 성냥은 그어졌다. ② 그 성냥은 물에 젖었다. ③ 불이 켜지지 않았다. 즉, ①, ②, ③인 어떤 가능 세계가 있고, 그 세계에서 위 보충 도입 식을 생각한다고 해보자. 그러면, (A & ~B v C)는, 진리표 계산에 의해, 거짓이다. 반면에, (A & B & ~C)는, 진리표 계산에 의해, 참이다. 따라서, 이 대안적 분석에 따르면, A◻︎→(B ⊃ C)는 참이다. 하지만 우리의 원래 목적은 이 식으로부터 AB ◻︎→ C가 도출된다는 논리 형태가 거짓일 수 있다는 것이었다. 이것은 앞의 예를 통해 보여질 수 있다. 우리는 “만약 성냥이 그어졌고 그 성냥이 물에 젖어 있더라면, 불이 켜질 것이다”가 거짓인 가능 세계를 상상할 수 있기 때문이다. 즉, 그러면 A◻︎→(B ⊃ C)는 참이지만 AB ◻︎→ C은 거짓이기 때문에, 전자로부터 후자가 도출되지 않는다.]
4. 참인 전건들
내 분석에서, 반사실 조건문은 (전건이 거짓임을 함축하기 때문이 아니라) 전건이 가정된 거짓일 때 그것을 사소하지 않게 사용하는 것이 적절하기 때문에 그렇게 불린다. 물론 만약 우리가 전건이 거짓이 아니라고 가정한다면, 그 반사실적 구성을 사용하는 것은 (우리의 일상 대화에서) 적절하지 않다. 하지만 이 결함은 진리 조건에 대한 문제가 아니다. 오히려, 이것은 마치 실질 조건문처럼 <참인 전건을 가진 반사실 조건문이 참이다 iff 그 반사실 조건문이 후건이 참이다>인 경우에 나타난다. 즉, 아래의 두 논증은 타당하다.
( - ) A, ~C ⊧ ~(A◻︎→C)
(+) A, C ⊧ A◻︎→C
참인 전건을 가진 반사실 조건문을 탐구하는 것은 어렵다. 이 반사실 조건문들의 부적절함은 이들이 참인지 여부에 대한 문제와 겹친다. 그러나 누군가 무심코 참인 전건 A를 가진 반사실 조건문 A◻︎→C를 주장했다고 가정해보자. 이에 대한 응답은 내 생각에 다음의 둘 중 하나라는 것은 설득적인 것 같다.
(-) A 이지만 C는 아니기 때문에 틀렸다
(+) A이고 실로 C이기 때문에 옳다.
이 두 응답의 설득력 (단어 ‘때문에’의 적절성)은 해당 논증의 타당성에 의존한다.
나는 (+) 보다 (-)가 더 복잡한 것 같다. (-)를 그대로 두는 동안에 (+)가 부당하다고 말하고자 하는 사람은, 어느 주어진 세계는 그 자신과 가까운 만큼 다른 세계와 가깝다고 상상할 준비가 되어있다면, 그렇게 할 수 있다. 하지만 그는 그 때문에 중심 가정을 약화시킨다: 각 세계는 자기 자신에게 접근 가능하고, 이것은 적어도 어느 다른 세계도 그 세계에 가까운 만큼 가깝다. 그 밖에 모든 것을 그대로 두면서, 이렇게 변화시킨다면, (-)는 타당하지만 (+)는 부당하다.
(5절 생략)
6. 대물적(de re) 잠재성
“그 황제가 루비콘 강을 건너지 않았더라면, 그는 결코 황제가 되지 못했을 것이다”는 <한 명의 유일한 황제가 있고, 그는 결코 루비콘 강을 건너지 않았다>인 (우리의 세계에) 가장 가까운 세계가 <한 명의 유일한 황제가 있고, 그는 결코 황제가 되지 못한다>인 세계라는 것을 의미하지 않는다. 오히려, 이것은 ‘그 황제’에 대하여 대물적이고, 현실적으로 황제인 그가 어떤 반사실적 속성을 갖거나, 다음의 식으로 표현된 [대물적] 잠재성을 갖는다는 것을 의미한다: “만약 x가 루비콘 강을 건너지 않았더라면, x는 결코 황제가 되지 못했을 것이다” [앞의 문장을 형식적으로 표현하자면 이렇다: ~Rx ◻︎→ ~Ex. 즉 열린 문장이다.] 우리는 황제가 되었을 누군가가 아니라, 그 현실의 황제에게 무슨 일이 일어났는지에 대해 말하고 있다. 그런 잠재성들은 우리가 반사실 조건문으로 양화할 때도 나타날 수 있다: “이 성냥들 중 어떤 것도 만약 그것이 그어진다면 불이 켜질 것이다.” 우리는 무언가가 어떤 잠재성을 갖는다는 것이, 즉 그 무언가가 어떤 반사실적 식 A(x) ◻︎→ C(x)을 만족한다는 것이 무엇인지에 대해 알아야 한다.
초기 제안:
어떤 것 x는 세계 i에서 A(x) ◻︎→ C(x)를 만족한다 iff 만약 x가 A(x)를 만족하는 (접근 가능한) 세계들이 있다면, <x가 A(x), C(x)를 만족하는 어떤 (접근 가능한) 세계>가 <x가 A(x), ~C(x)를 만족하는 모든 세계들> 보다 더 i에 가깝다.
위 제안의 문제:
이 제안은 여러 세계에서 하나이면서 같은 대상이 존재한다는, 즉 식을 만족할 수 있다는 가정에 의존한다. 나는 어떤 특정 세계에도 거주하지 않는 특정 추상적 존재자에 대한 경우를 제외할 때 이런 가정을 거부한다. 그리고 나는 구체적인 대상들이 각각 따로 그 자신의 단일한 세계에 갇혀있다고 말하는 것이 더 낫다고 생각한다. 하지만 그 자신이 비록 다른 세계에서 있을 수 없더라도, 그는 다른 세계에서 상응자counterparts를 가질 수 있다: 그와 매우 닮은 다른 세계의 거주자는 그와 같은 세계에 사는 다른 거주자들 보다 그와 더 유사하다. 그가 다른 세계에서 직접 할 수 없는 할 수 없는 일에 대하여, 그는 그곳에 있는 그의 상응자를 통해 대리적으로 할 수 있다. 따라서, 예를 들자면, 나는 <나 자신이 [w1이 아닌] 어느 다른 세계에서 공화당원이기 때문이 아니라>, <내가 어떤 세계에서 공화당원인 상응자를 갖기 때문에> [w1에서] 나는 공화당원일 수 있다. 9
상응자 방법을 사용한 제안:
어떤 것 x는 세계 i에서 A(x) ◻︎→ C(x)를 만족한다 iff 만약 x의 상응자가 A(x)를 만족하는 (접근 가능한) 세계가 있다면, <어떤 x의 상응자가 A(x), C(x)를 만족하는> 어떤 (접근 가능한) 세계는 <어떤 x의 어떤 상응자도 A(x), ~C(x)를 만족하는> 모든 세계들 보다 i에 더 가깝다
위 제안의 복잡성:
하나 보다 많은 자유 변항으로 이루어진 반사실문 식으로 표현된 관계를 다룰 때, 우리는 다양한 상응자 관계를 혼용해야 할 필요가 있어 보인다. “만약 내가 당신이었더라면, 나는 포기했을 것이다”는 <나에 대한 성격-상응자는 당신에 대한 상황-상응자이면서 포기한> 어떤 세계는 <나에 대한 성격-상응자가 너에 대한 상황-상응자이면서 포기하지 않은> 어떤 세계 보다도 더 가깝다는 것을 의미한다. 굿맨의 문장들에서 나타나는 차이를 보자.
(1) 만약 뉴욕 시가 조지아에 있었더라면, 뉴욕 시는 남쪽에 있었을 것이다
(2) 만약 조지아가 뉴욕 시를 포함했더라면, 조지아는 완전히 남쪽에 있지는 않았을 것이다
이 차이는 ▲ 이 문장들이 “뉴욕 시”와 “조지아”에 대해 대물적이라는 가정과, ▲ 상응자 관계가 목적어인 (1)에서의 “조지아”와 (2)에서의 “뉴욕 시” 보다, 주어인 (1)에서의 “뉴욕 시”와 (2)에서의 “조지아”에 대해 덜 엄격하게 사용된다는 가정에 의해 설명될 수 있다.
독립적인 복잡성:
세계들의 가까움과 그 안의 거주자들 간의 상응자 관계 둘다 비교 유사성 문제와 유사하기 때문에 이들은 상호-의존적이다. 우리 세계와 가까운 어느 세계에서는, 우리 세계의 거주자와 가까운 상응자가 주로 있을 것이다. 하지만 우리 세계와 매우 다른 세계에서는, 우리 세계에 있는 어떤 것과도 매우 가까운 상응자를 가질 수 없다. 그러므로 우리는 세계의 가까움과 상응자의 가까움을 융합하여 이들이 균형을 맞추기를 바랄 수 있다. 구체적 대상과 그것이 거주하는 세계의 쌍들 간의 비교 유사성을 사용할 때, 우리는 아래 같이 말할 수 있다:
어떤 세계 i의 거주자 x는 i에서 A(x) ◻︎→ C(x)를 만족한다 iff y가 A(x)와 C(x)를 j에서 만족하는 그러한 어떤 대상-세계 <y, j>는, z가 A(x)와 C(x)를 k에서 만족하는 그러한 어떤 <z, k> 쌍 보다도, 쌍 <x, i>와 더 유사하다.
참고: Counterfactuals, Oxford: Blackwell Publishers and Cambridge, MA: Harvard University Press, 1973
Lewis, David. "Counterfactuals and comparative possibility." Ifs. Springer, Dordrecht, 1973. 57-85.
https://math.berkeley.edu/~buehler/Counterfactuals%20Notes.pdf
- 반사실 조건문의 반대와 부정은 구분되어야 한다. 가령, A ◻︎→~B의 반대는 A ◻︎→B이지만, A ◻︎→~B의 부정은 ~(A ◻︎→~B)이다. [본문으로]
- 가령, a가 b 보다 c에 더 유사하다. 즉, a—b—c이지, a—c—b가 아니다. [본문으로]
- 가령, 우리들 대부분은, 맛의 측면에 있어서, 맥콜 보다 펩시 콜라가 코카 콜라와 더 유사하다고 판단한다. [본문으로]
- A ◻︎→ C는 i에서 참이다 iff C는 만약 그런 세계가 있다면, 가장 가까운 (접근 가능한) [유일한] 그 A-세계에서 참이다. [본문으로]
- 다시 강조하자면, 이것은 분석(2)에 따라 (A ◻︎→ C)의 부정을 취할 때 ~(A ◻︎→ C)을 얻었는데, 이때 우리는 A ◻︎→ ~C을 얻게 된다고 하였다. 그런데 이것은 “비제와 베르디가 같은 나라 사람이 아니라는 것을 함축”하기 때문에 우리가 말하고자 하는 바와 반대되는 것이었다. 분석(1)에 따르면 ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C이 둘다 참이든 거짓이든 같은 진리치를 갖는다는 것은 분석 1에 따라 추론되는 (분석2일 때와는 다른) 자연스러운 귀결이다. [본문으로]
- ~(A ◻︎→ C), A ◻︎→ ~C가 둘다 참인 경우에, 전자의 C는 거짓이어서, 괄호 안의 식은 거짓이 된다. 하지만 이것의 부정에 대한 진리치는 참이기 때문에 전자는 참이다. 후자의 것은 거짓인 C에 대한 부정의 진리치는 참이기 때문에, 이 식 전체는 참이다. [본문으로]
- A > B, A>C 둘이 비교 유사성 측면에서 같을 때, 우리는 둘 중 하나를 임의적으로 선택해야 한다. [이것은 모호성과 관련된다.] 이 분석은 진리치 결여를 허용한다는 점에서 꺼려지지만, 문제의 두 식이 동치라는 점에서 이점을 얻는다. [본문으로]
- 이 절에서는 반사실 조건문에서 전건이 참인 경우는 화용론적으로 어색할 뿐이지 의미론적으로 부적절하여 그 문장이 거짓이라는 것은 아님을 보여준다. [본문으로]
- 루이스는 통세계적 관계를 받아들이지 않고, 유사성 관계인 상응자 이론을 가지고 앞의 제안을 발전시킨다. [본문으로]
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